排列组合复习回顾

1.（排列问题）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．

(1)选其中5人排成一排；[来源:学科网]

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻；

(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；

(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；

(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．

是排列．有A₇⁵＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．

(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A₇³种方法，余下4人排在后排，有A₄⁴种方法，故共有A₇³·A₄⁴＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．

(3)(优先法)

方法一：甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A₆⁶种方法，故共有5×A₆⁶＝3 600种．

方法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A₆²种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有A₅⁵种方法，共有A₆²×A₅⁵＝3 600种．

(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A₄⁴种方法，再将4名女生进行全排列，也有A₄⁴种方法，故共有A₄⁴×A₄⁴＝576种．

(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A₄⁴种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A₅³种方法，

故共有A₄⁴×A₅³＝1 440种．

(6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲乙两人，有A₂²种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间，有A₅³种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A₃³种方法．故共有A₂²·A₅³·A₃³＝720种．

(7)(消序法)＝2 520.

(8)(间接法)A₇⁷－2A₆⁶＋A₅⁵＝3 720.    位置分析法：分甲在排尾与不在排尾两类．

 

 

2.（组合问题）7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？

(1)A，B必须当选；

(2)A，B必不当选；

(3)A，B不全当选；

(4)至少有2名女生当选；

(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．

【解题技巧】组合问题常有以下两类题型

（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                               随堂探究

一、排列组合混合问题“先选后排”

1、从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有_____种。

 

2、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有_______种不同的装法。

 

3、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________种。

 

 

二、特殊元素（或位置） “优先法”

4、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个。

 

5、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个。

 

 

6、从6名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有(    )

       A.180种            B.240种             C.300种           D.360种

 

三、相邻问题“捆绑法”

7、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有______种。

 

8、6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（    ）

       A．60              B．96                C．48              D．72

 

9、有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（   ）

       A．36              B．48                C．72             D．120

 

四、不相邻问题“插空法”

10、七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是（    ）   

       A．1440           B．3600               C．4820           D．4800

 

11、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有          个. 

 

五、至多、至少问题“总体淘汰法”（正难则反）

 

12、在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（   ）

    A．            B．        C．       D．

 

13、从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（    ）

    A．140              B．80种           C．70种            D．35种

 

六、分组与分配问题（均匀分组消序、先分组再分配）

14、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？

⑴平均分成三组；

⑵分成1本，2本、3本三组；

⑶平均分给甲、乙、丙三人；

⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；

⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.

 

 

 

15、某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由名教师对个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过人，则不同的“包教”方案有（   ）

   A．              B．            C．            D．

16、5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ）

   A、480 种               B、240种             C、120种               D、96种

 

17、某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（    ）种.

   A、5040                 B、1260              C、210                  D、630

七、定序问题“消序法”

18、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站的站法有______种。

 

19、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有     个.

 

 

 

八、染色问题分类法

20、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有     种.

   若有5种颜色呢？

 

21、如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有(　　)

A．288种　　　　B．264种       C．240种        D．168种

课后作业：见校本提纲